一、几何部分
射影定理 - 在直角三角形中，斜边上的高将斜边分成的两段与两直角边满足关系：
$$BD^2 = AD \cdot DC \quad \text{和} \quad AB^2 = AD \cdot AC$$
（其中D为斜边上的垂足）
梯形中位线定理
梯形的中位线平行于两底，且长度为两底和的一半：
$$L = \frac{a + b}{2} \quad \text{（其中a、b为梯形两底）}$$
该定理常用于快速计算梯形面积
正多边形外角和
任意n边形的外角和恒为360度：
$$\sum_{i=1}^n \alpha_i = 360^\circ \quad \text{（其中$\alpha_i$为外角）}$$
适用于正多边形性质推导
二、代数部分
立方和与差公式
- 立方和：
$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$
- 立方差：
$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$
这些公式在因式分解和代数运算中较常用
韦达定理
一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两根$x_1, x_2$满足：
$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{和} \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$
通过根与系数的关系可快速解决与方程根相关的问题
三、其他实用公式
三角不等式
- 三角形两边之和大于第三边：
$$|a + b| \leq |a| + |b|$$
- 两边之差小于第三边：
$$|a - b| \leq |a| + |b|$$
该不等式在几何证明和向量分析中重要
完全平方公式
- 和的平方：
$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
- 差的平方：
$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
常用于代数化简和因式分解
四、学习建议
结合应用： 冷门公式往往需要结合具体问题使用，例如射影定理多用于几何证明，韦达定理则与方程根相关。 对比记忆
定期复习：通过做练习题巩固公式应用，建议每周总结一次易错点。
以上公式覆盖了不同领域，建议根据学习进度选择重点掌握。
