一、代数公式

平方差公式

$$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$$

用于因式分解和简化计算。

完全平方公式

$$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$$

$$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$$

常用于展开和因式分解。

乘法分配律

$$a(b + c) = ab + ac$$

基础运算定律。

立方和与差公式

$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$

$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$

扩展因式分解能力。

二、几何公式

三角形面积公式

$$S = \frac{1}{2} \times 底 \times 高$$

基础几何计算。

矩形与平行四边形面积

- 矩形：$S = 长 \times 宽$

- 平行四边形：$S = 底 \times 高$

适用于不同几何图形面积计算。

梯形面积公式

$$S = \frac{(上底 + 下底) \times 高}{2}$$

通用梯形面积计算公式。

圆的相关公式

- 周长：$C = 2\pi r$

- 面积：$S = \pi r^2$

- 扇形面积：$S = \frac{1}{2}lr$

- 圆柱侧面积：$S = 2\pi rh$

- 圆锥侧面积：$S = \pi rl$

- 球的表面积：$S = 4\pi r^2$

- 球的体积：$V = \frac{4}{3}\pi r^3$

- 圆柱体积：$V = \pi r^2h$

- 圆锥体积：$V = \frac{1}{3}\pi r^2h$ 。

三、函数与方程

一次函数

$$y = kx + b$$

斜率 $k$ 决定函数增减性：$k > 0$ 递增，$k < 0$ 递减。

一元二次方程

解的公式：

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

根与系数关系：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$ 。

韦达定理

用于已知方程根与系数关系的快速计算。

四、三角函数公式

两角和与差公式

$$\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$$

$$\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b$$

$$\tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}$$ 。

倍角公式

$$\sin 2a = 2\sin a \cos a$$

$$\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$$

$$\tan 2a = \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}$$ [1