白展堂和佟湘玉的孩子叫 白敬祺。以下是相关信息的整合：

孩子身份

白敬祺是白展堂与佟湘玉的独子，两人育有一子，该角色在《武林外传》和《龙门镖局》中均有提及。

年龄与结局

- 生活在《武林外传》时约27岁，性格机智但武功较弱，未继承父亲白展堂的“葵花点穴手”。 - 在《龙门镖局》中，白敬祺与郭芙蓉的女儿吕青橙订婚，并成为镖局镖头，重振镖局雄风。

角色关系

- 白敬祺是佟湘玉弟弟佟石头的表兄弟（母亲为亲姐妹），因此盛秋月（佟石头妻子）是他的舅妈。 - 吕青橙与白敬祺为娃娃亲，但未在《武林外传》中明确提及婚事。

总结：

白敬祺是两部剧的核心人物纽带，其身份和结局在两部作品中均被明确交代，但具体细节因剧集侧重点不同存在差异。