初中切线长定理的公式及相关说明如下：

一、切线长定理公式

对于圆外一点$P$向圆引两条切线，切点分别为$T_1$和$T_2$，圆心为$C$，圆的半径为$r$，则切线长$PT$（$T$为切点）的计算公式为：

$$PT = \sqrt{PC^2 - r^2}$$

其中，$PC$为点$P$到圆心$C$的距离。

二、公式推导说明

几何构造

连接圆心$C$与切点$T$，形成半径$CT=r$。再连接点$P$与圆心$C$，构成直角三角形$PTC$，其中$\angle PTC=90^\circ$。

勾股定理应用

根据勾股定理，在直角三角形中，斜边平方等于两直角边平方和，即：

$$PC^2 = PT^2 + r^2$$

从而推导出切线长公式：

$$PT = \sqrt{PC^2 - r^2}$$

三、注意事项

该公式仅适用于圆外一点引圆切线的情况；

若点$P$在圆内或圆上，则无法引出切线，需调整条件。

四、相关定理补充

若已知圆心角$\angle PCQ = 2\alpha$（$Q$为圆上一点），则切线长公式可扩展为：

$$PT = \frac{r}{\cos\alpha}$$

该公式通过几何变换和三角函数推导得出，适用于已知圆心角的情况。

建议结合具体题目条件选择合适公式，并注意公式的适用范围。